Tervetuloa!



Hakemisto (Aiempien kirjoitusten pikahaku)


Viikkojuttu (Viikon pääpauhanta)


Sivalluksia (Pikakommentteja)


keskiviikko 23. marraskuuta 2016

Ymmärrysharjoitus II

Yli kaksituhatta vuotta sitten kreikkalaiset tekivät näppärän keksinnön ja aksiomatisoivat matematiikan. Sitä ennen matematiikka oli ollut luonnontiede. Mittailtiin suorakulmion sivuja ja huomattiin että katsos kehveliä, kun pituuden kertoo leveydellä, saadaan pinta-ala. Sitten tuli Eukleides ja osoitti matemaattisesti tämän olevan totta. Samoin kuin monta muuta asiaa voidaan osoittaa aukottomasti tosiksi.

Näin yleisesti luullaan. Totuus on kuitenkin jotain muuta.

Eukleides ei osoittanut suorakulmion pinta-alaa aukottomasti todeksi. Eikä mitään muutakaan. Hän ainoastaan osoitti, että nämä asiat ovat tosia, mikäli noudatetaan hänen esittämiään aksioomia. Aksioomat ovat tietynlaisia peruslauseita, joiden oletetaan olevan tosia ja joista muut lauseet ovat loogista seurausta. Tunnetuin Eukleideen viidestä aksioomasta on epäilemättä yhdensuuntaisuusaksiooma, jonka mukaan kaksi yhdensuuntaista suoraa eivät leikkaa toisiaan.

Yleisesti uskottiin vuosisatojen ajan Eukleideen aksioomien olevan ehdottomia totuuksia. Tämä ei kuitenkaan pidä paikkaansa. Ainoa ehto aksioomien valinnalle on näet se, että niiden tulee olla keskenään ristiriidattomia. Valitsemalla aksioomat toisin saadaan toisenlaista matematiikkaa. Eukleideen geometria kuvasi hyvin ihmisaistein havaittavissa olevaa maailmaa, mistä seurasi yleinen ja virheellinen uskomus sen absoluuttisesta totuudesta. 1800-luvulla löydettiin kuitenkin epäeuklidisia geometrioita, joissa esim. yhdensuuntaisuusaksiooma ei ollut voimassa, kuten hyperbolinen geometria. Niiden aksioomat olivat keskenään ristiriidattomia, joten järjestelmät olivat kelvollisia. Ne kuvasivat yleensä malleja, joiden käsittäminen ihmisaistein on lähes mahdotonta. Malleja, jotka eivät kuvanneet jokapäiväisessä elämässä havaittavia asioita, vaan olivat hyödyllisiä esim. pohdittaessa maailmankaikkeuden muotoa. Mikäli näiden aksioomajärjestelmien avulla yrittää rakentaa taloa, se ei pysy pystyssä. Se ei silti tarkoita sitä, etteivätkö järjestelmät olisi oikein – mutta ne ovat oikein vain omassa järjestelmässään.

Jotain hyvin samankaltaista on nähtävissä nykypäivän yhteiskunnallisessa keskustelussa. Geometriassa vastaava tilanne olisi seuraava. Ei auta, vaikka kuinka osoittaa rautalangasta vääntäen, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Toinen väittää kivenkovaan sen olevan enemmän, jolloin rautalangan omistaja polttaa loputkin päreensä idiotismin edessä.

Ehkä kyse ei olekaan idiotismista. Kyse saattaa olla erilaisesta aksioomajärjestelmästä, joka on sinänsä ristiriidaton. Edellisessä esimerkissä henkilö A käytti euklidista geometriaa, kun taas henkilö B pallogeometriaa, joten molemmat olivat oikeassa omassa aksioomajärjestelmässään, vaikka olivatkin eri kannalla kolmion kulmien summasta. Vastaavasti henkilön A aksioomajärjestelmän kulmakivenä saattaa olla esimerkiksi se, että kaikkia ihmisiä tulee kohdella samanarvoisesti heidän syntyperästään riippumatta, kun taas henkilön B aksioomajärjestelmässä tulee aksiomaattisesti suorittaa ns. positiivista diskriminaatiota. Mikä on sovittamaton ristiriita järjestelmien välillä.

Kumpikaan järjestelmä ei ole sen paremmin oikeassa kuin väärässäkään. Ne vain tuottavat erilaisen yhteiskunnan aivan kuten geometriassa erilaiset aksioomat tuottavat erilaista geometriaa. Kokonaan toinen juttu on sitten se, millaista geometriaa tarvitaan tai millainen yhteiskunta halutaan rakentaa. Euklidisen tasogeometrian avulla saadaan aikaan kerrostalo. Jos pitäytyisi hyperbolisessa geometriassa, talo ei pysyisi pystyssä koska hyperbolinen geometria ei ole tarkoitettu rakennusinsinöörin työkaluksi. Samaten euklidinen geometria ei auta maailmankaikkeuden muodon selittämisessä.

Kun asiaa ajattelee tältä kannalta, moni kummallisuus selittyy. Esimerkiksi Erkki Tuomioja on todella fiksu mies, mutta järjestelmällisesti väärässä. Paitsi tietysti oman aksioomajärjestelmänsä puitteissa oikeassa. Ikävä puoli Suomen kansan kannalta on tietysti se, ettei kyseinen aksioomajärjestelmä kuvaa havaittavaa todellisuutta kovin hyvin.

Olen ennenkin yrittänyt mennä vastapuolen pään sisälle ja ymmärtää. Toisenlaisen aksioomajärjestelmän kautta ajattelu antaakin näennäiselle mielettömyydelle hyvän selityksen. En nyt ryhdy sen kummemmin vastapuolen aksioomia pohtimaan, mutta voi lähteä siitä melko turvallisesta olettamuksesta että niihin jossain muodossaan kuuluu se, että huonosti meneviin asioihin löytyy syy valkoisesta miehestä. Tästä voi sitten lähteä loogisesti seuraamaan ajatusmallia ja kuten huomataan, se on varsin ristiriidaton. Kun oma aksioomajärjestelmäni eli Jaskan järjestelmä nyt on mitä on, niin kutsutaan tällaisen toisen järjestelmän omaavaa henkilöä vaikka yhden kirjaimen erolla Juskaksi (valitun nimen yhteydet olemassaoleviin henkilöihin ovat täysin tahattomia), eräänlaiseksi Anti-Jaskaksi.

Tässä välissä on kuitenkin huomautettava, että toki suurin osa suvaitsevaistosta ei ajattele asioita näin selkeästi, vaan kulkee ainoastaan lauman ja hyvän fiiliksen mukana toimien ristiriitaisesti. Sama pätee toki myös meihin Voiman Pimeän Puolen kulkijoihin – asioiden aksiomatisoijat ja loogisesti etenijät ovat kaikkialla harvassa. Suurin osa ihmisistä on vain sillejä silliparvessa kääntyen aina samaan suuntaan kuin naapurikin.

Äskettäin järjestettiin nenäpäiväkeräys. Samanlaisia keräyksiä järjestettiin silloinkin, kun olin lapsi. Niissäkin kerättiin rahaa köyhän Afrikan hyväksi. Nykypäivänä Afrikka on suhteessa sivistysmaihin ihan yhtä köyhä kuin silloinkin. Ainoa merkittävä ero on siinä, että sen väkiluku on kolminkertaistunut. Tästä Juska päätyy täysin loogiseen johtopäätökseen, että tuolloin jokunen vuosikymmen sitten Afrikkaa ei avustettu tarpeeksi. Jos näin olisi toimittu, niin Afrikka olisi tänä päivänä kukoistava manner. Joten kehitysapua on lisättävä, tuumii Juska.

Tilanne on kuitenkin se, että väkiluvun kasvun myötä Afrikan ja Lähi-Idän kantokyky ei riitä. Niinpä sieltä pyritään siirtolaisiksi sivistysmaihin. Tämähän on ihan ymmärrettävää. Islamistakin on monia eri suuntauksia, joita yhdistää vain yksi asia: kaikkien niiden kannattajat haluavat pois islamilaisista maista. Juskan logiikassa on täysin selvää, että tämä tulee sallia ja rajat avata. Eli hänen aksioomajärjestelmäänsä kuuluu vapaa liikkuvuus. Tämän seuraus kylläkin on se, että hallitsematon väestönkasvu kehitysmaissa jatkuu ja liikaväestö ainoastaan dumpataan länsimaihin. Mutta se ei ole ristiriidassa Juskan aksioomien kanssa.

Ongelmia tästä kieltämättä aiheutuu. Juskan aksioomiin kuuluu varmaan myös luonnonsuojelu. Nyt maapallon kantokyky alkaa ulvoa sietämättömissä lukemissa, kun ihmiskunnan kulutukseen tarvittaisiin jo kohta kahden maapallon tuotanto. Juskalle tämä ei muodosta ristiriitaa rajojen avoimmuuden kanssa, koska länsimaathan niitä resursseja eniten kuluttavat. Paitsi että:
1) Esimerkiksi Suomi tuottaa yli kaksi kertaa niin paljon luonnonvaroja kuin kuluttaa.
2) Afrikkalainen moninkertaistaa hiilijalanjälkensä muuttaessaan kylmempään ilmastoon korkeampaan elintasoon.
3) Siinä missä sivistysmaissa edes yritetään tehdä asialle jotakin, kehitysmaissa nakataan luonnonvarojen käytölle pitkät paskat.
4) Esimerkiksi Arabiemiraateissa eli rikkaassa kehitysmaassa luonnonvaroja käytetään 12-kertaisesti verrattuna alueen luonnonvarojen tuotantoon - vähän eri juttu kuin Suomen 0,5-kertaisuus. Jos kehitysmaalaisilla olisi mahdollisuus kuluttaa luonnonvaroja yli kapasiteetin, näin tapahtuisi.
Hyvänä esimerkkinä Juskan ajatusmallista oli äskettäin Hesarissa ollut lista Pohjoismaiden 15 keinosta, jotka pelastaisivat maapallon ilmastonmuutokselta. Joka ainoa niistä oli kuin laastari valtimoverenvuotoon. Millään ei ole minkäänlaista tehoa, ellei kehitysmaiden väestönkasvua saada pysähtymään. Eikä se suinkaan ollut listassa. Itse asiassa ainuttakaan noista viidestätoista keinosta ei edes tarvittaisi, mikäli kehitysmaat olisivat noudattaneet Pohjoismaiden keinoa: Pidetään väkiluku alhaisempana kuin ekologinen kapasiteetti. Tämän ehdon täyttävät Pohjoismaista kaikki muut paitsi Tanska, jonka kulutus on noin 1,3 kertainen tuotantoon nähden.
Juskalle tämä ei ole ongelma siksi, että nämä ongelmat ratkeavat kyllä, kunhan kehitetään sopiva teknologia.

Teknologian kehittämiseen taas vaaditaan työvoimaa, jota Juskan logiikassa saadaan kehitysmaalaisesta maahanmuutosta. Juskan aksioomiin kun kuuluu se, että ihmisryhmillä ei ole mitään eroja. Ei ainakaan älykkyydessä. Mikä on varsin käsittämätön ajatus niin biologian, tilastotieteen kuin tutkimustenkin näkövinkkelistä. Plus sitten siihen päälle kulttuuri, joka useissa tapauksissa on esteenä kehitykselle. Tästä joku muu voisi loogisesti todeta, että:
1) Ei kannata ottaa maahan porukkaa, jonka älli ei riitä sivistyneessä yhteiskunnassa toimimiseen.
2) Kehitykselle ja sivistykselle vihamieliset kulttuurit tulee kitkeä pois kuin rikkaruohot.
Mutta nämä eivät ole yhteensopivia Juskan järjestelmän kanssa, joten hän "ratkaisee" ongelman (1) massiivisin tukitoimin ja ongelman (2) soveltamalla kulttuurirelativismia, jonka takia kaikilta ei vaadita samoja asioita, vaan jotkut ovat tasa-arvoisempia kuin toiset.

Lopullisena niittinä Juska voi todeta, että maapallolla on tosiaankin liikaa ihmisiä ja niitä ei pidä enää hankkia lisää. Niinpä hän keksii jonkin syyn pysyä lapsettomana, mikä antaa muille tilaa. Tai ainakin hän kehottaa länsimaalaisia olemaan hankkimatta lapsia siksi, että maapallon väkiluku kasvaa niin valtavaa tahtia. Tässä logiikassa globalisoidaan lokaali ongelma eli eihän länsimaiden ongelma ole väestönkasvu. Sen sijaan kehitysmaiden on. Juskan ratkaisu muistuttaa tämmöisen toisen aksioomajärjestelmän omaavan mielestä sitä, että Suomessa ruvettaisiin säästämään vettä siksi että siitä on Saharassa pula ... ai brrgele, mutta niinhän sitä jo tehdään. Siis korjataan toisinpäin: länsimaalaisten lastenhankintalakko maailman väestönkasvun pysäyttämiseksi on sama kuin Keniassa pukeuduttaisiin tammikuussa toppavaatteisiin siksi että Suomessa on kylmä.
Mikäli länsimaalaiset eivät lisäänny, kehitysmaalaiset muuttavat länsimaihin ja lisääntyvät yhtä hillittömästi kuin ennenkin. Paitsi Juskan järjestelmässä, jossa he muutaman sukupolven kuluttua muuttuvat länsimaiselle tasolle. Ja samalla ratkeavat kaikki muutkin ongelmat, kun maahanmuuttajien kehittämät teknologiset innovaatiot otetaan käyttöön.

En voi sille mitään, että Juskan ja hänen heimolaistensa maailmankuvasta tulee mieleen keskiaikainen geosentrinen maailmankuva, jossa maapallo oli avaruuden keskipiste ja kaikki planeetat sekä Aurinko kiersivät sitä. Tämähän oli ihan uskottava siihen asti, kunnes alettiin tehdä tarkempia havaintoja ja parempia laskelmia. Tällöin havaittiin, että eihän tämä nyt ihan putkeen mennyt. Mutta aksiooma - kaikki kiertää Maata - oli aksiooma ja jos todellisuus näytti olevan sen kanssa ristiriidassa, niin sen pahempi todellisuudelle. Silloin järjestemää paikattiin. Todettiin, että ympyränmuotoiset kiertoradat eivät riitä, vaan niihin piti lisätä episyklejä, toisin sanoen silmukoita jotka aiheutuvat kiertoradan sisällä olevista kiertoradoista. Kuvaajana tämä tarkoittaa sitä, että esimerkiksi Mars kiersi systeemin mukaan Maata näennäisesti ympyränmuotoista rataa pitkin, mutta teki silloin tällöin silmukan radallaan. Vastaavalla tavalla voi toki paikata systeemin virheitä loputtomiin: aina kun löytyy uusi poikkeama laskelmiin (jota ei voi virheellisenä havaintona enää kiistää, tämä toki on aina ensimmäinen yritys), lisätään jokin mielenkiintoinen kommervenkki vanhaan teoriaan. Uuteen aksioomajärjestelmään siirtyminen oli ideologisesti erittäin raskasta, vaikka aurinkokeskinen malli selittikin taivaankappaleiden liikkeet täydellisesti ja yksinkertaisesti. Sitä ei vain voinut hyväksyä, koska se oli ristiriidassa aksiooman eli maakeskeisyyden kanssa.

Samalla tavalla voimme ymmärtää haittamaahanmuuton ja kulttuurirelativismin kannattajia. Niin kauan kun kaikki kansat pysyivät omilla alueillaan harjoittamassa omaa kulttuuriaan, eivät heidän teoriansa olleet merkittävässä ristiriidassa todellisuuden kanssa. Nykymaailmassa tosiasiat ovat rävähtäneet kasvoille, jolloin heidän teorioihinsa tulee rakennella mitä mielenkiintoisimpia silmukoita, jotta ne saataisiin paikattua kasaan. Siirtyminen toisenlaiseen malliin on yhtä vaikeaa kuin oli aikoinaan siirtyminen geosentrisestä mallista heliosentriseen. Siinäkin vainottiin uuden mallin esittäjiä, pistettiin oikeuden eteen väärien faktojen ilmaisemisen takia ja pakotettiin perumaan epäsopivat näkemykset. Mikä on kautta historian ollut yleensä aika varma merkki siitä, mikä järjestelmä toimii ja mikä ei. Jos uusi ajattelumalli olisi virheellinen, virallinen malli voisi helposti kumota sen järkiperustein. Muussa tapauksessa se on aina joutunut turvautumaan demonisointiin ja vainoamiseen.

Vuoropuhelu on näin erilaisissa aksioomajärjestelmissä vaikeaa, mutta ei se mahdotonta ole. Siihen tulee pyrkiä. On tunnustettava, että ei Juskan malli kokonaan virheellinen ole, on siinä hyviäkin elementtejä. Aivan samoin kuin eihän geosentrinen maailmankuva kokonaan väärä ollut, kiersihän sentään Kuu Maata.

11 kommenttia:

thule kirjoitti...

Mainiota pohdintaa taas kerran, kiitos siitä! Itse ehkä kuitenkin olisin, kuvatakseni osuvammin tuota esittämääsi aksioomaa, vaihtanut tuosta Jaskasta erään toisen kirjaimen kuin tuon a:n...

Yrjöperskeles kirjoitti...

Osui ja upotti. Karmeinta lienee se, että Juskan malli ei ole nyky-Suomessa mitään höperön hourintaa (mitä se tosiasiassa on), vaan se on virallinen oppi, jonka kyseenalaistajat demonisoidaan.

Snowcamo kirjoitti...

"siirtyminen geosentrisestä mallista heliosentriseen. Siinäkin vainottiin uuden mallin esittäjiä ja julistettiin kirkonkiroukseen."

Tuo muuten sinällään taitaa olla pitkälti urbaania legendaa... Galileonkin rangaistus oli väljä kotiaresti, yhden kirjan levittämisen kieltäminen ja kirkon apurahan pienentäminen - eikä se edes varsinaisesti tullut heliosentrisyydestä vaan henkilökohtaisuuksista. Joku paremmin historiaa tunteva täsmentäköön. Lähde kuitenkin lienee suhteellisen luotettava, eli Galileon itsensä kirjoittama muistelo tapahtuneesta! Kopernikus ja Keppler olivat tehneet heliosentrisyyden tunnetuksi jo huomattavasti aiemmin ilman suurempia riitoja.

Jännempää on nykyaikana kun vääristä mielipiteistä ja faktoista oikeasti seuraa vankeutta ja viraltapanoa.

Ukkeli kirjoitti...

Veden säästäminen Suomessa on järjetöntä. Taannoin Helsingin vesi valitti, etteivät kaupunkilaiset käytä tarpeeksi vettä, jolloin veden laatu heikkenee. Kyllä Päijänteessä vettä riittää ja melkein joka päivä sataa taivaalta lisää. Eikä veden säästäminen auta Afrikan kehitysmaata yhtään. Jos helsinkiläinen ei käytä vettä, niin Päijänteen vesi valuu Kymijokea Suomenlahteen.

Hyvä verraus muuten tuo erilaiset geometriat. Tulokset ovat erilaisia, mutta aksioomia logisesti seuraamalla voi ymmärtää, mistä ne tulevat. Vanhoja kotikommunisteja pystyi jotenkin vielä ymmärtämään. He olivat internationalisteja puheissaan, mutta nationalisteja teoissaan. Ymmärsivät, että kakku pitää ensin leipoa, ennen kuin sen voi jakaa. Nämä nykyiset tuntuvat olevan cargo-kultin uskovaisia. Hyvinvointi tulee taikaseinästä, eikä lopu koskaan.

Jaska Brown kirjoitti...

thule: Kiitoksia. Ensin ajattelin kieltämättä Saskaa, mutta sitten tuumasin että se voitaisiin sekottaa johonkuhun melkein viattomaan.

Yrjöperskeles: Juuripa niin. Tässä tuntee olevansa ruuvi maailmassa, jossa on pelkästään vasaroita.

Snowcamo: Joo, noinhan se taisi mennä. Ei pitäisi kirjoittaa ulkomuistista. Muutan leipätekstin ilmaisun sopivammaksi. Ja Suomessa on kyllä mielipiteenvapaus, mutta se koskee nimenomaan mielipidettä, faktojen vapauden tilaa voi kysellä moneltakin sakot saaneelta.

Ukkeli: Heh, hyvä pointti tuo cargo-kultti. Tässä linkki aiheeseen niille, jotka eivät sanaa tunne.

Becker kirjoitti...

No minähän asun maassa jossa tuo Juskan malli on ollut jo käytössä pitkään. Ja siitäkin vaan löydetään uusia variaatioita koko ajan. Tässä pieni esimerkki:
http://www.friatider.se/soldat-v-grade-delta-i-prideparaden-riskerar-straff
Kyseessähän on maan suurin juhla, joka saa kansan kymmenin tuhansin liikkeelle. Osa marssimaan ja osa ihastelemaan marssijoita kadunvierille. Ja näiden kanssa Suomen pitäisi olla yhteistoiminnassa. Tuo rätissä oleva hokema on väärennös YK:n julistuksesta, jossa tarkoitetaan että yhdenarvoisuutta syntymähetkellä.
Aivopestyjä laumasieluja suurin osa porukasta, tosiaan kuin silakkaparvi.
En pidä itseäni mitenkään poikkeuksellisena älyllisesti, mutta täällä ei todellakaan
tarvitse potea alemmuuskompleksia.

Anonyymi kirjoitti...

Mikäli oikein olen ymmärtänyt, vaikka emme elä euklidisen geometrian avaruudessa, niin kaarevuus käyttämillämme etäisyyksillä on hyvin hyvin lähellä eulidista tasoa, jolloin tekemämme virheet ovat abauttiarallaa 0, eivätkä euklidiset tulokset romahduta ihmisten kyhäämiä rakenteita maailmankaikkeudessa (jonka se voisi jossain järjettömässä mittakaavassa tehdä), koska se melkein pätee. Mikä tekee euklidisesta mallista ns. luonnontieteellisemmän lähestymiskulman, jonka olemme voineet havaita paradoksaalisesti empiirisin keinoin...
Kyse on ikäänkuin siiitä, ettemme käytä jompaa kumpaa suhteellisuusteoriaa (tosi-inssi (tm) toki mitoittaa rakennuksensa yleisellä) juurikaan käytännön hommissa.

Korjatkaa toki aivoni tekemät virheet.

Anonyymi kirjoitti...

Lisätään edelliseen: siis koska meihin vaikuttama gravitaatio on melko alhainen, jolloin euklidinen järjestelemä antaa siis erinomaisia tuloksia, mutta mikäli laajentaisimme reviiriämme (jos ylipäätään elämä selviäisi siellä, koska kykenemme olemaan kasassa vain jos olemme lähes euklidisen ympäristön kappaleita) muille merkittävästi korkeamman gravitaation alueelle, niin huonosti kävisi.

Jaska Brown kirjoitti...

Becker: Laumasielun tuntee siitä, että hän on mieluummin muiden kanssa väärässä kuin yksin oikeassa.

Ano: Kyllä, juuri näin. Aivan samoin kuin fysiikassa Newtonin lait toimivat erinomaisesti kunhan ei liikuta liian kovaa vauhtia. Tosin tässä on se ero, että suhteellisuusteoria toimii myös pienillä nopeuksilla mutta on turhan monimutkainen helppoihin laskuihin, kun taas muut geometriat eivät anna euklidisessa tasossa oikeita tuloksia (ainakaan yleensä).

Anonyymi kirjoitti...

Jaskalta kysyisin, että miksi ei anna. Euklidinen tasohan on hyberbolisen ja pallogeometrisen tason välissä. Koska elämme alhaisen gravitaation alueella – siis lähes euklidisessa tasossa. Toisin sanoen ei-euklidinen geometria kyllä toimii todellisuudessamme. Pitäisi vain osata mitoittaa se meidän ei-euklidinen tasomme oikein (mikä saattaisi olla erittäin vaikea operaatio)ja se olisi käytännön kannalta ajan hukkaa, mutta ei se siihen hajoaisi, koska erot ovat mitättömiä euklidiseen. Tässäkin pitäisi olla kyse lopulta vain siitä kuuluisasta limeksestä. Jatkumoa kaikki. Tosin kvanttiteoriat on sitten jo kaikkea muuta kuin jatkumoa.

Geometrian muodot kuten myös suhteelinen mekaniikka toimii hyvin jatkumona. Kvantti on puolestaan diskreetti systeemi.

Hilbertin hotellivertaus:
Hotellissa on äärettömästi huoneita yhdellä käytävällä peränjälkeen, joista jokainen huone on täynnä ja kukaan ei suostu poistumaan hotellista. Miten sijoitamme uuden asukin omaan huoneeseensa, niin, että kukaan ei mene huoneen ohitse? Helposti: jokainen siirtyy huoneen eteenpäin ja uusi asukki siirtyy ensimmäiseen.
Diskreetisti mahdoton ongelma, ellei jokin asukki kupsahda.

Jaska Brown kirjoitti...

Ano: Pahoittelen myöhäistä vastausta, luin viestisi ja olin jo vastaamassa, mutta tuli este ja sitten unohdin. Mutta tässä.
Epäeuklidinen geometria ei anna (välttämättä) oikeita tuloksia euklidisessa geometriassa siksi, että sen aksioomat ovat erilaiset. Tässä me molemmat olemme jossain määrin syyllistyneet ns. käsitehässimiseen eli sekoittaneet reaalimaailmaa aksiomaattiseen järjestelmään. Reaalimaailmassa kyse on mallin approksimaatiosta. Tässä puhutaan puhtaasti järjestelmästä.